СУНЦОКРЕТ И ШИШАРКЕ
Уводни део часа
Подела шишарки ученицима представља отварање трећег састанка.
Питање 1: Шта може бити заједничко шишаркама и сунцокрету?
Ученици ће вероватно отворити дискусију о томе како су то биљне врсте, плодови.
Мотивационо питање: Да ли знате да биљке крију једну математичку тајну? Коју? Открићемо данас!
Природа нам задаје многе мозгалице, а наука покушава да им пронађе решење. То решење често буде у вези са целим бројевима, који, углавном, праве необичне низове.
Један такав низ целих бројева пре више векова открио је Италијан Леонардо Пизано Фибоначи, па је тај низ, по њему, добио своје име.
Главни део часа
Низ бројева: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. . . зовемо Фибоначијевим низом.
Питање 2: Који је следећи члан овог низа?
Питање 3: На који начин се долази до следећих чланова низа?
Закључак:
Сваки наредни члан овог низа бројева добија се сабирањем два претходна члана. Тако је, на пример, 1+1=2, 1+2=3, па сада знамо да додамо нове чланове Фибоначијевом низу:
21+13=34
34+21=55. . .
и тако редом сабирамо или користимо компјутер.
У Фибоначијевом низу се може уочити и понављање последњих цифара.
Уколико посматрамо последње цифре:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...
Уочава се низ који је бесконачан, а циклус траје 60 бројева.
Задатак 1: Проверити да ли заиста постоји циклус од 60 бројева, тачније, да ли ће последње цифре бројева у низу, после шездесетог, почети да се понављају истим редоследом.
После толиког теоријског посла, остаје да видимо због чега је овај низ бројева, уствари, значајан.
Грађа скелета пужа, кора ананаса, шишарке, лице сунцокрета, распоред лишћа и грана на дрвећу и много шта друго — зависи од Фибоначијевог низа бројева. Проверимо ово коришћењем геометрије.
Фибоначијев низ се, осим бројевима, може приказати и путем серије правоугаоника, као и спиралом, коју можемо нацртати коришћењем тих правоугаоника. У том облику се најчешће појављује у природи и у уметности. Ови правоугаоници се праве на следећи начин:
Задатак 2: Покушај самостално да нацрташ ову спиралу.
Задатак 3: Сликај се са друговима или другарицама и одштампај ту фотографију. Направи
Фибоначијеву спиралу на тој слици, али крени од највећег могућег правоугаоника, па све до најмањег.
Фибоначијев низ у природи
Многе биљке следе спирални раст математичке прецизности, посебно сунцокрет и кактуси. Код неких кактуса се може, полазећи од центра, нацртати спирала која повезује врх сваке иглице са следећом. Тако се могу добити различити обрасци са спиралама: са три, пет или осам спирала.
Пажљивим бројањем латица на једној од шишаркиних спирала, добија се неки од бројева из Фибоначијевог низа, рецимо: 8, 13 или 21.
Ученици могу то одмах и да провере, пошто пред собом имају шишарке.
Алан Туринг је први представио идеју о сунцокретима и Фибоначијевом низу. Та идеја је тестирана 2012. године. Резултати су потврдили, на узорку од 557 проучаваних цветова сунцокрета, да 8/10 цветова савршено прати Фибоначијев низ!
Питање 4: Зашто биљке, када расту, гранају своје лишће у виду спирале?
Ученици би требали да знају одговор да је то због тога да би сваки лист добио довољно сунчеве светлости, али уколико не буду знали одговор, поставља се мотивационо питање: „Како се биљке хране?“
Задатак 4: Посади зрно пасуља и прати раст биљке у етапама (сликај). Провери да ли ће се листови поређати у виду спирале и да ли ће се биљка понашати по правилу Фибоначијевог низа.
Фибоначијев низ и златни пресек
Златни пресек у математици је специфични однос између две величине које се понашају по следећем правилу:
Однос мање величине према већој једнака је односу веће величине према њиховом збиру.
Уколико је мања величина, а већа величина, математички запис је следећи:
Резултат ове пропорције је златни пресек, обележава се словом φ и износи 0.6180339…
Ова размера је познатија као Божанска пропорција.
У каквој вези је златни пресек са Фибоначијевим низом?
Резултат односа два суседна члана Фибоначијевог низа приближава се вредности броја φ.
Људско тело је прави пример ове пропорције.
Задатак 5: Провери да ли си и ти пример Божанске пропорције.
Завршни део часа
Ученици петог и шестог разреда
Задатак 1: Проверити да ли заиста постоји циклус од 60 бројева, тачније, да ли ће последње цифре бројева у низу, после шездесетог, почети да се понављају истим редоследом.
Задатак 2: Покушај самостално да нацрташ спиралу.
Задатак 3: Сликај себе са друговима или другарицама, па одштампај ту фотографију. Направи Фибоначијеву спиралу на тој слици, али крени од највећег могућег правоугаоника, па све до најмањег. Задатак 4: Посади зрно пасуља и прати раст биљке у етапама (сликај). Провери да ли ће се листови поређати у виду спирале и да ли ће се биљка понашати по правилу Фибоначијевог низа.
Ученици седмог и осмог разреда
Поред задатака за ученике петог и шестог разреда, раде и бонус задатак који се тиче Божанске пропорције.
Подела шишарки ученицима представља отварање трећег састанка.
Питање 1: Шта може бити заједничко шишаркама и сунцокрету?
Ученици ће вероватно отворити дискусију о томе како су то биљне врсте, плодови.
Мотивационо питање: Да ли знате да биљке крију једну математичку тајну? Коју? Открићемо данас!
Природа нам задаје многе мозгалице, а наука покушава да им пронађе решење. То решење често буде у вези са целим бројевима, који, углавном, праве необичне низове.
Један такав низ целих бројева пре више векова открио је Италијан Леонардо Пизано Фибоначи, па је тај низ, по њему, добио своје име.
Главни део часа
Низ бројева: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. . . зовемо Фибоначијевим низом.
Питање 2: Који је следећи члан овог низа?
Питање 3: На који начин се долази до следећих чланова низа?
Закључак:
Сваки наредни члан овог низа бројева добија се сабирањем два претходна члана. Тако је, на пример, 1+1=2, 1+2=3, па сада знамо да додамо нове чланове Фибоначијевом низу:
21+13=34
34+21=55. . .
и тако редом сабирамо или користимо компјутер.
У Фибоначијевом низу се може уочити и понављање последњих цифара.
Уколико посматрамо последње цифре:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...
Уочава се низ који је бесконачан, а циклус траје 60 бројева.
Задатак 1: Проверити да ли заиста постоји циклус од 60 бројева, тачније, да ли ће последње цифре бројева у низу, после шездесетог, почети да се понављају истим редоследом.
После толиког теоријског посла, остаје да видимо због чега је овај низ бројева, уствари, значајан.
Грађа скелета пужа, кора ананаса, шишарке, лице сунцокрета, распоред лишћа и грана на дрвећу и много шта друго — зависи од Фибоначијевог низа бројева. Проверимо ово коришћењем геометрије.
Фибоначијев низ се, осим бројевима, може приказати и путем серије правоугаоника, као и спиралом, коју можемо нацртати коришћењем тих правоугаоника. У том облику се најчешће појављује у природи и у уметности. Ови правоугаоници се праве на следећи начин:
- Нацртају се 2 мала квадрата који имају страницу 1сm, дакле, граде правоугаоник са страницама 1cm и 2сm.
- Испод или изнад, овог правоугаоника се нацрта квадрат странице 2сm, заједно стварају правоугаоник са страницама 2 cm и 3 cm.
- Поступак се наставља...
Задатак 2: Покушај самостално да нацрташ ову спиралу.
Задатак 3: Сликај се са друговима или другарицама и одштампај ту фотографију. Направи
Фибоначијеву спиралу на тој слици, али крени од највећег могућег правоугаоника, па све до најмањег.
Фибоначијев низ у природи
Многе биљке следе спирални раст математичке прецизности, посебно сунцокрет и кактуси. Код неких кактуса се може, полазећи од центра, нацртати спирала која повезује врх сваке иглице са следећом. Тако се могу добити различити обрасци са спиралама: са три, пет или осам спирала.
Пажљивим бројањем латица на једној од шишаркиних спирала, добија се неки од бројева из Фибоначијевог низа, рецимо: 8, 13 или 21.
Ученици могу то одмах и да провере, пошто пред собом имају шишарке.
Алан Туринг је први представио идеју о сунцокретима и Фибоначијевом низу. Та идеја је тестирана 2012. године. Резултати су потврдили, на узорку од 557 проучаваних цветова сунцокрета, да 8/10 цветова савршено прати Фибоначијев низ!
Питање 4: Зашто биљке, када расту, гранају своје лишће у виду спирале?
Ученици би требали да знају одговор да је то због тога да би сваки лист добио довољно сунчеве светлости, али уколико не буду знали одговор, поставља се мотивационо питање: „Како се биљке хране?“
Задатак 4: Посади зрно пасуља и прати раст биљке у етапама (сликај). Провери да ли ће се листови поређати у виду спирале и да ли ће се биљка понашати по правилу Фибоначијевог низа.
Фибоначијев низ и златни пресек
Златни пресек у математици је специфични однос између две величине које се понашају по следећем правилу:
Однос мање величине према већој једнака је односу веће величине према њиховом збиру.
Уколико је мања величина, а већа величина, математички запис је следећи:
Резултат ове пропорције је златни пресек, обележава се словом φ и износи 0.6180339…
Ова размера је познатија као Божанска пропорција.
У каквој вези је златни пресек са Фибоначијевим низом?
Резултат односа два суседна члана Фибоначијевог низа приближава се вредности броја φ.
Људско тело је прави пример ове пропорције.
Задатак 5: Провери да ли си и ти пример Божанске пропорције.
- Измери растојање од пупка до пода, затим тај број подели са растојањем од врха главе до пода.
- Измери растојање од лакта до врхова прстију и потом га подели са растојањем од рамена до врхова прстију на руци.
- Растојање од колена до пода подели са растојањем од кука до пода.
Завршни део часа
Ученици петог и шестог разреда
Задатак 1: Проверити да ли заиста постоји циклус од 60 бројева, тачније, да ли ће последње цифре бројева у низу, после шездесетог, почети да се понављају истим редоследом.
Задатак 2: Покушај самостално да нацрташ спиралу.
Задатак 3: Сликај себе са друговима или другарицама, па одштампај ту фотографију. Направи Фибоначијеву спиралу на тој слици, али крени од највећег могућег правоугаоника, па све до најмањег. Задатак 4: Посади зрно пасуља и прати раст биљке у етапама (сликај). Провери да ли ће се листови поређати у виду спирале и да ли ће се биљка понашати по правилу Фибоначијевог низа.
Ученици седмог и осмог разреда
Поред задатака за ученике петог и шестог разреда, раде и бонус задатак који се тиче Божанске пропорције.